Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）

（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD__∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是_____；

（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=AD；

（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图2，∵∠CDP=120°，

∴∠CDB=60°，

∵∠BAC=60°，

∴∠CDB=∠BAC=60°，

∴A、B、C、D四点共圆，

∴∠ACD=∠ABD．

在BP上截取BE=CD，连接AE．

在△DCA与△EBA中，

，

∴△DCA≌△EBA（SAS），

∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，

∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，

∴∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴DE=AD．

∵BD=BE+DE，

∴BD=CD+AD．

故答案为=，BD=CD+AD；

（2）

解：如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F．

∵∠CDP=60°，

∴∠CDB=120°．

∵∠CAB=120°，

∴∠CDB=∠CAB，

∵∠DOC=∠AOB，

∴△DOC∽△AOB，

∴∠DCA=∠EBA．

在△DCA与△EBA中，

，

∴△DCA≌△EBA（SAS），

∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．

∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，

∴∠DAE=120°，

∴∠ADE=∠AED==30°．

∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，

∴DF=AD，

∴DE=2DF=AD，

∴BD=DE+BE=AD+CD，

∴BD﹣CD=AD；

（3）

解：线段BD、CD与AD之间的数量关系为BD+CD=AD.

【解析】（1）如图2，由∠CDP=120°，根据邻补角互补得出∠CDB=60°，那么∠CDB=∠BAC=60°，所以A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理得出∠ACD=∠ABD；在BP上截取BE=CD，连接AE．利用SAS证明△DCA≌△EBA，得出AD=AE，∠DAC=∠EAB，再证明△ADE是等边三角形，得到DE=AD，进而得出BD=CD+AD．
（2）如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F．先由两角对应相等的两三角形相似得出△DOC∽△AOB，于是∠DCA=∠EBA．再利用SAS证明△DCA≌△EBA，得出AD=AE，∠DAC=∠EAB．由∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，得出∠DAE=120°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADE=∠AED==30°．解Rt△ADF，得到DF=AD，那么DE=2DF=AD，进而得出BD=DE+BE=AD+CD，即BD﹣CD=AD；
（3）根据旋转的性质可得线段BD、CD与AD之间的数量关系．
此题考查了图形的旋转变换，涉及知识点有四点共圆问题，圆周角定理，等边三角形判定，相似三角形性质，全等三角形性质，以及三角形内角和定理和直角三角形性质等.