Question

如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设该抛物线的解析式为，

由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知.

即抛物线的解析式为．                

把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得

解得.（3分）∴ 抛物线的解析式为y = x²－2x－3．  

∴ 顶点D的坐标为

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.  理由如下：

过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴ .在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，

∴ .在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，

∴ . 

∴ ， 故△BCD为直角三角形.     

（3）符合条件的点有二个：P₁（0，0），P₂（9，0）.