题目内容
【题目】如图1,点A是x轴正半轴上的动点,点B坐标为(0,4),M是线段AB的中点,将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,过点C作x轴的垂线,垂足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,点D是点A关于直线CF的对称点,连结AC,BC,CD,设点A的横坐标为t.
(1)当t=2时,求CF的长;
(2)①当t为何值时,点C落在线段BD上;
②设△BCE的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(3)如图2,当点C与点E重合时,将△CDF沿x轴左右平移得到△C′D′F′,再将A,B,C′,D′为顶点的四边形沿C′F′剪开,得到两个图形,用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出所有符合上述条件的点C′的坐标.
【答案】
(1)
解:由题意,易证Rt△ACF∽Rt△BAO,
∴ .
∵AB=2AM=2AC,
∴CF= OA=
t.
当t=2时,CF=1
(2)
解:①由(1)知,Rt△ACF∽Rt△BAO,
∴ ,
∴AF= OB=2,
∴FD=AF=2,.
∵点C落在线段BD上,
∴△DCF∽△DBO,
∴ ,即
,
解得t= ﹣2或t=﹣
﹣2(小于0,舍去)
∴当t= ﹣2时,点C落在线段BD上;
②当0<t<8时,如题图1所示:
S= BECE=
(t+2)(4﹣
t)=-
t2+
t+4;
当t>8时,如答图1所示:
S= BECE=
(t+2)(
t﹣4)=
t2﹣
t﹣4
(3)
解:符合条件的点C的坐标为:(12,4),(8,4)或(2,4).
理由如下:
在△CDF沿x轴左右平移的过程中,符合条件的剪拼方法有三种:
方法一:如答图2所示,当F′C′=AF′时,点F′的坐标为(12,0),
根据△C′D′F′≌△AHF′,△BC′H为拼成的三角形,此时C′的坐标为(12,4);
方法二:如答图3所示,当点F′与点A重合时,点F′的坐标为(8,0),
根据△OC′A≌△BAC′,可知△OC′D′为拼成的三角形,此时C′的坐标为(8,4);
方法三:当BC′=F′D′时,点F′的坐标为(2,0),
根据△BC′H≌△D′F′H,可知△AF′C′为拼成的三角形,此时C′的坐标为(2,4)
【解析】(1)由Rt△ACF∽Rt△BAO,得CF= OA=
t,由此求出CF的值;(2)①由Rt△ACF∽Rt△BAO,可以求得AF的长度;若点C落在线段BD上,则有△DCF∽△DBO,根据相似比例式列方程求出t的值;
②有两种情况,需要分类讨论:当0<t≤8时,如题图1所示;当t>8时,如答图1所示.(3)本问涉及图形的剪拼.在△CDF沿x轴左右平移的过程中,符合条件的剪拼方法有三种,需要分类讨论,分别如答图2﹣4所示.
【考点精析】本题主要考查了相似图形和相似三角形的判定与性质的相关知识点,需要掌握形状相同,大小不一定相同(放大或缩小);判定:①平行;②两角相等;③两边对应成比例,夹角相等;④三边对应成比例;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题.
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