题目内容
已知抛物线y=ax2-2ax与直线l:y=ax(a>0)的交点除了原点O外,还相交于另一点A.
(1)分别求出这个抛物线的顶点、点A的坐标(可用含a的式子表示);
(2)将抛物线y=ax2-2ax沿着x轴对折(翻转180°)后,得到的图象叫做“新抛物线”,则:①当a=1时,求这个“新抛物线”的解析式,并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线l上;②在①的条件下,“新抛物线”上是否存在一点P,使点P到直线l的距离等于线段OA的
?若存在,请直接写出满足条件的点P坐标;若不存在,请说明理由.
(1)分别求出这个抛物线的顶点、点A的坐标(可用含a的式子表示);
(2)将抛物线y=ax2-2ax沿着x轴对折(翻转180°)后,得到的图象叫做“新抛物线”,则:①当a=1时,求这个“新抛物线”的解析式,并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线l上;②在①的条件下,“新抛物线”上是否存在一点P,使点P到直线l的距离等于线段OA的
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(1)∵y=ax2-2ax=a(x-1)2-a,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-a),
由y=ax2-2ax与y=ax(a>0)可得抛物线和直线的交点坐标为(0,0)、(3,3a),
∴A点坐标为(3,3a);
(2)存在一点P,使点P到直线l的距离等于线段OA的
,
理由如下:
①∴当a=1时,A坐标为(3,3),
∴OA=3
,
∴原抛物线为y=x2-2x,
则新抛物线为y=-x2+2x,直线L:x-y=0;
②设P点坐标为(b,-b2+2b),则有
=
,
即|b2-b|=|(b-
)2-
|=
,
∴(b-
)2=0或者(b-
)2=
,
解得b=
或b=
或b=
,
∴P点坐标为(
,
)或(
,
)或(
,
).
∴抛物线的顶点坐标为(1,-a),
由y=ax2-2ax与y=ax(a>0)可得抛物线和直线的交点坐标为(0,0)、(3,3a),
∴A点坐标为(3,3a);
(2)存在一点P,使点P到直线l的距离等于线段OA的
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理由如下:
①∴当a=1时,A坐标为(3,3),
∴OA=3
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∴原抛物线为y=x2-2x,
则新抛物线为y=-x2+2x,直线L:x-y=0;
②设P点坐标为(b,-b2+2b),则有
|b+b2-2b| | ||
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即|b2-b|=|(b-
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∴(b-
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解得b=
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∴P点坐标为(
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