题目内容

已知，△ABC中，AB=6，AB边上的高为4．
（1）如图1，四边形EFGH为正方形，E、F在边AB上，G、H分别在边AC、BC上．求正方形的边长；

（2）如图2，三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形DEFG的顶点D、E在△ABC的边AB上，G、F分别在边AC、BC上．正方形的边长为；
（3）如图3，三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形有两个顶点在△ABC的边AB上，其它顶点分别在边AC、BC上．正方形的边长为；
（4）如图4，三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形的两个顶点在△ABC的边AB上，其它顶点分别在边AC、BC上．正方形的边长用含n的代数式表示__

解：（1）过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．
∴∠CMB=90°，
∵正方形EFGH，
∴GH∥AB，GH=GF，GF⊥AB，
∴∠CGH=∠A，∠CNH=∠CMB=90°．
∵∠GCH=∠ACB，
∴△CGH∽△CAB．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵GF=MN=GH，设GH=x，
∴CN=CM-MN=CM-GH=CM-x．
∵AB=6，CM=4，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得x=2.4∴正方形的边长为2.4．

（2）根据正方形的性质，
过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．可知
△CGF∽△CAB．
∵AB=6，CM=4，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得：x= $\text{[math]}$
故正方形的边长为 $\text{[math]}$

（3）根据正方形的性质，
过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．可知
AB=6，CM=4，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得：x= $\text{[math]}$
故正方形的边长为 $\text{[math]}$

（4）由此，当为n个正方形时 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以x= $\text{[math]}$

分析：先作辅助线，然后根据正方形的性质和勾股定理和相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为x则可以求出（1）的边长即： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（2）的边长 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（3）的边长 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从中得到规律就可得到（4）的边长即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：需要对正方形的性质、直角三角形的勾股定理和相似三角形的判定和性质熟练地掌握．并把它运用到实际的题目中去．