题目内容
如图①,已知点D在AB上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且M为EC的中点.
(1)求证:△BMD为等腰直角三角形.(思路点拨:考虑M为EC的中点的作用,可以延长DM交BC于N,构造△CMN≌△EMD,于是ED=CN=DA,即可以证明△BND也是等腰直角三角形,且BM是等腰三角形底边的中线就可以了.)请你完成证明过程.
(2)将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时(如图②所示位置),△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.

(1)求证:△BMD为等腰直角三角形.(思路点拨:考虑M为EC的中点的作用,可以延长DM交BC于N,构造△CMN≌△EMD,于是ED=CN=DA,即可以证明△BND也是等腰直角三角形,且BM是等腰三角形底边的中线就可以了.)请你完成证明过程.
(2)将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时(如图②所示位置),△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.

(1)证明:延长DM交BC于N,
∵∠EDA=∠ABC=90°,
∴DE∥BC,
∴∠DEM=∠MCB,
在△EMD和△CMN中
,
∴△EMD≌△CMN,
∴CN=DE=DA,MN=MD,
∵BA=BC,
∴BD=BN,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
∴BM⊥DM,∠DBM=
∠DBN=45°=∠BDM,
∴△BMD为等腰直角三角形.
(2)△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立,
证明:作CN∥DE交DM的延长线于N,连接BN,
∴∠E=∠MCN=45°,
∵∠DME=∠NMC,EM=CM,
∴△EMD≌△CMN(ASA),
∴CN=DE=DA,MN=MD,
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°,
∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°,
∴∠DAB=∠BCN,
在△DBA和△NBC中
BCN,
∴△DBA≌△NBC,
∴∠DBA=∠NBC,DB=BN,
∴∠DBN=∠ABC=90°,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
∴BM⊥DM,∠DBM=
∠DBN=45°=∠BDM,
∴△BMD为等腰直角三角形.

∵∠EDA=∠ABC=90°,
∴DE∥BC,
∴∠DEM=∠MCB,
在△EMD和△CMN中
|
∴△EMD≌△CMN,
∴CN=DE=DA,MN=MD,
∵BA=BC,
∴BD=BN,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
∴BM⊥DM,∠DBM=
1 |
2 |
∴△BMD为等腰直角三角形.
(2)△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立,

证明:作CN∥DE交DM的延长线于N,连接BN,
∴∠E=∠MCN=45°,
∵∠DME=∠NMC,EM=CM,
∴△EMD≌△CMN(ASA),
∴CN=DE=DA,MN=MD,
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°,
∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°,
∴∠DAB=∠BCN,
在△DBA和△NBC中
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∴△DBA≌△NBC,
∴∠DBA=∠NBC,DB=BN,
∴∠DBN=∠ABC=90°,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
∴BM⊥DM,∠DBM=
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∴△BMD为等腰直角三角形.


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