Question

【题目】如图，在四边形中，，以为斜边均向形外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，则的值为__________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

过点B作BM∥AD，根据AB∥CD，求证四边形ADMB是平行四边形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求证△MBC为直角三角形，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，根据等腰直角三角形的性质分别求出三个等腰直角三角形的面积，计算即可．

解：过点B作BM∥AD交CD于M，

∵AB∥CD，

∴四边形ADMB是平行四边形，

∴AB=DM，AD=BM，

∵∠ADC+∠BCD=90°，

∴∠BMC+∠BCM=90°，即∠MBC=90°，

∴MC2=MB2+BC2，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴AE2+DE2=AD2，

∴AE2=DE2=AD2，

∴S1=×AE×DE=AE2=AD2，，

同理：S2=AB2，S3=BC2，

S1+S3=AD2+BC2=BM2+BC2=MC2，

∵CD=3AB，

∴MC=2AB，

∴S1+S3 =×(2AB)2= AB2，

∴S1+S3=4S2，即k=4，

故答案为：4．