题目内容

【题目】如图,四边形ABCD为菱形,点E为对角线AC上的一个动点,连结DE并延长交AB于点F,连结BE.

(1)如果①,求证:∠AFD=∠EBC;

(2)如图②,若DE=EC且BE⊥AF,求∠DAB的度数;

(3)若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时,求∠EFB的度数(只写出条件与对应的结果)

【答案】(1)干劲儿目前并解析;(2)60°;(3)30°或120°.

【解析】

试题分析:(1)直接利用全等三角形的判定方法得出DCE≌△BCE(SAS),即可得出答案;

(2)利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出DAB的度数;

(3)利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出当F在AB延长线上时,以及当F在线段AB上时,分别求出即可.

试题解析:(1)∵四边形ABCD为菱形,

∴DC=CB,

在△DCE和△BCE中,

∴△DCE≌△BCE(SAS),

∴∠EDC=∠EBC,

∵DC∥AB,

∴∠EDC=∠AFD,

∴∠AFD=∠EBC;

(2)∵DE=EC,

∴∠EDC=∠ECD,

设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°,则∠CBF=2x°,

由BE⊥AF得:2x+x=90°,

解得:x=30°,

∴∠DAB=∠CBF=60°;

(3)分两种情况:

①如图1,当F在AB延长线上时,

∵∠EBF为钝角,

∴只能是BE=BF,设∠BEF=∠BFE=x°,

可通过三角形内角形为180°得:

90+x+x+x=180,

解得:x=30,

∴∠EFB=30°;

②如图2,当F在线段AB上时,

∵∠EFB为钝角,

∴只能是FE=FB,设∠BEF=∠EBF=x°,则有∠AFD=2x°,

可证得:∠AFD=∠FDC=∠CBE,

得x+2x=90,

解得:x=30,

∴∠EFB=120°,

综上:∠EFB=30°或120°.

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