题目内容
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A,C,D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.
(1)求证:AC=AE;
(2)求△ABC外接圆的半径.
(1)求证:AC=AE;
(2)求△ABC外接圆的半径.
(1)∵∠ACB=90°,且∠ACB为圆O的圆周角(已知),
∴AD为圆O的直径(90°的圆周角所对的弦为圆的直径),
∴∠AED=90°(直径所对的圆周角为直角),
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分线(已知),
∴∠CAD=∠EAD(角平分线定义),
∴CD=DE(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等),
在Rt△ACD和Rt△AED中,
,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等);
(2)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,
∴AB=
=
=13,
∴△ABC外接圆的半径=
AB=
×13=
.
∴AD为圆O的直径(90°的圆周角所对的弦为圆的直径),
∴∠AED=90°(直径所对的圆周角为直角),
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分线(已知),
∴∠CAD=∠EAD(角平分线定义),
∴CD=DE(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等),
在Rt△ACD和Rt△AED中,
|
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等);
(2)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,
∴AB=
AC2+CB2 |
52+122 |
∴△ABC外接圆的半径=
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