题目内容

【题目】如图,的中线,是线段上一点(不与点重合).于点,连结

(1)如图1,当点重合时,求证:四边形是平行四边形;

(2)如图2,当点不与重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

(3)如图3,延长于点,若,且

的度数;

时,求的长.

【答案】(1)证明见解析(2)成立,理由见解析;(3)30°.1+

【解析】

试题分析:(1)只要证明AE=BM,AE∥BM即可解决问题;

(2)成立.如图2中,过点M作MG∥DE交CE于G.由四边形DMGE是平行四边形,推出ED=GM,且ED∥GM,由(1)可知AB=GM,AB∥GM,可知AB∥DE,AB=DE,即可推出四边形ABDE是平行四边形;

(3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,只要证明MI=AM,MI⊥AC,即可解决问题;

②设DH=x,则AH=x,AD=2x,推出AM=4+2x,BH=4+2x,由四边形ABDE是平行四边形,推出DF∥AB,推出,可得,解方程即可;

试题解析:(1)证明:如图1中,

∵DE∥AB,

∴∠EDC=∠ABM,

∵CE∥AM,

∴∠ECD=∠ADB,

∵AM是△ABC的中线,且D与M重合,

∴BD=DC,

∴△ABD≌△EDC,

∴AB=ED,∵AB∥ED,

∴四边形ABDE是平行四边形.

(2)结论:成立.理由如下:

如图2中,过点M作MG∥DE交CE于G.

∵CE∥AM,

∴四边形DMGE是平行四边形,

∴ED=GM,且ED∥GM,

由(1)可知AB=GM,AB∥GM,

∴AB∥DE,AB=DE,

∴四边形ABDE是平行四边形.

(3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,

∵BM=MC,

∴MI是△BHC的中位线,

∴∥BH,MI=BH,

∵BH⊥AC,且BH=AM.

∴MI=AM,MI⊥AC,

∴∠CAM=30°.

②设DH=x,则AH=x,AD=2x,

∴AM=4+2x,

∴BH=4+2x,

∵四边形ABDE是平行四边形,

∴DF∥AB,

解得x=1+或1-(舍弃),

∴DH=1+

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