题目内容

【题目】如图1,抛物线y=﹣x2+2x+3x轴相交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C

1)直接写出ABC三点的坐标和抛物线的对称轴;

2)如图2,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点PPFDE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;用含m的代数式表示线段PF的长;并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?

3)如图3,连接AC,在x轴上是否存在点Q,使ACQ为等腰三角形,若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1A﹣10),B30),C03.对称轴是直线x=1;(2PF=﹣m2+3m.m=2时,四边形PEDF为平行四边形;(3)存在,Q140),Q210),Q3﹣10),Q4﹣10).

【解析】试题分析:(1)通过解方程﹣x2+2x+3=0可得A点和B点坐标,再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标,然后利用对称性可确定抛物线的对称轴;(2)先利用待定系数法求出直线BC的函数关系式为y=﹣x+3,再确定E,D点坐标,E12),D14),表示出Pm﹣m+3),Fm﹣m2+2m+3),两点纵坐标相减便得PF=﹣m2+3m,接着计算出DE=2,然后利用平行四边形的判定方法,即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到﹣m2+3m=2,再解方程求出m即可.(3)分三种情况:QA=QCCA=CQAC=AQ;进行讨论即可求解.

试题解析:(1)当y=0时,﹣x2+2x+3=0,即-x-3(x+1)=0,解得x1=﹣1x2=3,则A﹣10),B30),当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C03);利用A,B点坐标求出抛物线的对称轴是直线x==1;所以A﹣10),B30),C03.对称轴是直线x=1;(2)设直线BC的函数关系式为y=kx+b,把B30),C03)分别代入得,解得k=﹣1b=3直线BC的函数关系式为y=﹣x+3对称轴是直线x=1E12),y=﹣x2+2x+3=﹣x﹣12+4顶点D的坐标为(14),当x="m" 时,y=﹣m+3Pm﹣m+3),Fm﹣m2+2m+3),线段PF=﹣m2+2m+3﹣﹣m+3=﹣m2+3m,即线段PF=﹣m2+3m,又线段DE=4﹣2=2PFDEPF=ED时,四边形PEDF为平行四边形,即﹣m2+3m=2,解得m1=2m2=1(不合题意,舍去),m=2时,四边形PEDF为平行四边形;(3)分三种情况:QA=QCCA=CQAC=AQ;进行讨论:设在x轴上存在点Qx0),使ACQ为等腰三角形.分三种情况:如果QA=QC,那么(x+12=x2+32,解得x=4,则点Q140);如果CA=CQ,那么12+32=x2+32,解得x1=1x2=﹣1(不合题意舍去),则点Q210);如果AC=AQ,那么12+32=x+12,解得x1=﹣1x2=﹣﹣1,则点Q3﹣10),Q4﹣10);综上所述存在点Q,使ACQ为等腰三角形.它的坐标为:Q140),Q210),Q3﹣10),Q4﹣10).

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