Question

【题目】已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．

（1）如图1，求证：EAEC=EBED；

（2）如图2，若，AD是⊙O的直径，求证：ADAC=2BDBC；

（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）4．

【解析】

试题分析：（1）由同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；

（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；

（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，由三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．

试题解析：（1）∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，∴△AED∽△BEC，∴，∴EAEC=EBED；

（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F，∵B是弧AC的中点，∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．又∵AD为⊙O直径，∴∠ABC=90°，又∠CFB=90°，∴△CBF∽△ABD．∴，故CFAD=BDBC，∴ACAD=2BDBC；

（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，∴AF为⊙O的直径，∴∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥BD，∴∠AEB=∠ADF=90°，∵∠ABD=∠F，∴△ABE∽△ADF，∴∠1=∠2，∴，∴BC=DF=4．