Question

如图l，已知∠AOC=m°，∠BOC=n°且m、n满足等式|3m-420|+(2n-40)²=0，射线OP从OB处绕点0以4度／秒的速度逆时针旋转．

（1）试求∠AOB的度数；
（2）如图l，当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转，同时射线OQ从OA处以l度／秒的速度绕点0顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得∠POQ=10°？
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度／秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，且=，试求x.

Answer 1

（1）160°；（2）30秒或34秒；（3）2

试题分析：（1）先根据非负数的性质求得m=140，n=20，即得∠AOC=140°，∠BOC=20°，从而得到结果；
（2）设他们旋转x秒时，使得∠POQ=10°，则∠AOQ=x°，∠BOP=4x°，分局①当射线OP与射线OQ相遇前，②当射线OP与射线OQ相遇后，两种情况，结合旋转的性质分析即可；
（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处，则∠BOE=4t°，先根据角平分线的性质可得∠COD的度数，即可求得∠BOD的度数，再根据即可求得∠COE的度数，从而得到∠DOE、∠BOE的度数，即可求得结果.
（1）∵|3m－420|＋(2n－40)²=0
∴3m－420=0且2n－40=0
∴m=140，n=20     
∴∠AOC=140°，∠BOC=20°
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=160°；
（2）设他们旋转x秒时，使得∠POQ=10°，则∠AOQ=x°，∠BOP=4x°
①当射线OP与射线OQ相遇前有：∠AOQ＋∠POQ＋∠BOP＋∠POQ =∠AOB=160°
即x＋4x＋10=160，解得x=30；
②当射线OP与射线OQ相遇后有：∠AOQ＋∠POQ＋∠BOP－∠POQ =∠AOB=160°
即x＋4x－10=160，解得x=34
答：当他们旋转30秒或34秒时，使得∠POQ=10°；
（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处，则∠BOE=4t°
∵OD为∠AOC的平分线
∴∠COD=∠AOC=70°
∴∠BOD=∠COD＋∠BOC=70°＋20°=90°
∵
∴∠COE=×90°=40° 
∠DOE=30°，∠BOE=20°＋40°=60°
即4t=60，t=15 
∴∠DOE=15x°
即15x=30，x=2.
点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，需要学生熟练掌握旋转的性质.