题目内容

【题目】如图(1),菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点,四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上.

(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图(2)若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,已知 =2,且菱形ABCD的面积是20,求矩形EFGH的长与宽.

【答案】
(1)证明:∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点,

∴OA=OC,OD=OB,

∵点O是线段FH的中点,

∴OF=OH.

在△AOF和△COH中,有

∴△AOF≌△COH(SAS),

∴∠AFO=∠CHO,

∴AF∥CH.

同理可得:DH∥BF.

∴四边形EFGH是平行四边形


(2)设矩形EFGH的长为a、宽为b,则AC=

=2,

∴BD= AC= ,OB= BD= ,OA= AC=

∵四边形ABCD为菱形,

∴AC⊥BD,

∴∠AOB=90°.

∵四边形EFGH是矩形,

∴∠AGH=90°,

∴∠AOB=∠AGH=90°,

又∵∠BAO=∠CAG,

∴△BAO∽△CAG,

,即

解得:a=2b①.

∵S菱形ABCD= ACBD= =20,

∴a2+b2=80②.

联立①②得:

解得: ,或 (舍去).

∴矩形EFGH的长为8,宽为4


【解析】(1)根据菱形的性质可得出OA=OC,OD=OB,再由中点的性质可得出OF=OH,结合对顶角相等即可利用全等三角形的判定定理(SAS)证出△AOF≌△COH,从而得出AF∥CH,同理可得出DH∥BF,依据平行四边形的判定定理即可证出结论;(2)设矩形EFGH的长为a、宽为b.根据勾股定理及边之间的关系可找出AC= ,BD= ,利用菱形的性质、矩形的性质可得出∠AOB=∠AGH=90°,从而可证出△BAO∽△CAG,根据相似三角形的性质可得出 ,套入数据即可得出a=2b①,再根据菱形的面积公式得出a2+b2=80②,联立①②解方程组即可得出结论.本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定及性质、菱形的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定及性质,解题的关键:(1)找出AF∥CH、DH∥BF;(2)找出关于a、b的二元二次方程组.本题属于中档题,难度不大,但解题过程叫繁琐,解决该题型题目时,根据相似三角形的性质找出对应边的比例关系是关键.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网