Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，点E在BC上，以CE为直径的⊙O交AB于点F，AO∥EF
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如图2，连结CF交AO于点G，交AE于点P，若BE=2，BF=4，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OF，如图，

∵OA∥EF，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵OE=OF，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△AOC和△AOF中

，

∴△AOC≌△AOF，

∴∠ACO=∠AFO=90°，

∴OF⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OFB中，设OE=OF=r，

∵OF2+BF2=OB2，

∴r2+42=（r+2）2，解得r=3，

∴OB=5，

∴OA∥EF，

∴△BEF∽△BOA，

∴ = = ，

∵EF∥OA，

∴△PEF∽△PAO，

∴ = = ，

∴ = ．

【解析】（1）连接OF，如图，利用平行线的性质得到∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，则∠1=∠2，再证明△AOC≌△AOF得到∠ACO=∠AFO=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；（2）在Rt△OFB中，设OE=OF=r，利用勾股定理得到r2+42=（r+2）2 ， 解得r=3，则OB=5，再证明△BEF∽△BOA得到 = = ，然后证明△PEF∽△PAO，利用相似比可得到 的值．
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．