Question

已知：直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、、（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点的坐标为（-1，0），在直线上有一点，使与相似，求出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴下方的抛物线上，是否存在点，使的面积等于四边形的面积？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）或（1，2）；（3）不存在

试题分析：（1）先求得直线与坐标轴的交点A、B的坐标，再由抛物线经过A、B、C三点即可根据待定系数法求得结果；
（2）由题意可得：△ABO为等腰直角三角形，分△ABO∽△AP₁D，△ABO∽△ADP₂，根据等腰三角形的性质及相似三角形的性质求解即可；
（3）如图设点E ，根据三角形的面积公式可得①当P₁（-1，4）时，= ，由点E在x轴下方可得，代入得即，根据△=（-4）²-4×7=-12<0可得此方程无解；②当P₂（1，2）时，= ，由点E在x轴下方可得，代入得：，即，根据△=（-4）²-4×5=-4<0可得此方程无解，综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E.
（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组
，解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）由题意可得：△ABO为等腰直角三角形，如图所示

若△ABO∽△AP₁D，则 
∴DP₁=AD=4
∴P₁
若△ABO∽△ADP₂ ，过点P₂作P₂ M⊥x轴于M，AD=4
∵△ABO为等腰三角形
∴△ADP₂是等腰三角形，由三线合一可得：DM="AM=2=" P₂M，即点M与点C重合
∴P₂（1，2）；
（3）如图设点E ，则


①当P₁（-1，4）时，=
∴，
∵点E在x轴下方 
∴，代入得即
∵△=（-4）²-4×7=-12<0
∴此方程无解；
②当P₂（1，2）时，=     
∴， 
∵点E在x轴下方 
∴，代入得：，即，
∵△=（-4）²-4×5=-4<0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E.
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.