Question

如图，中，，⊙O为它的内切圆，切点分别是、、。
（I）若，求：的内切圆的半径；

（II）若的内切圆半径，的周长为，则的值为        
（III）若，求。

Answer 1

（1）（2）（3）

分析：
（1）根据已知得出四边形OECF是正方形，根据切线长定理可得：CE=CF=1/2（AC+BC-AB），得出内切圆半径即可；
（2）根据△ABC的内切圆半径r，△ABC的周长为l，分隔三角形面积得出△ABC的面积即可；
（3）根据AD=x，BD=y，设内切圆半径为r，则BC=r+y，AC=r+x，斜边AB=x+y，利用勾股定理得出r，进而得出三角形面积即可。
解答：
（1）如图；

在Rt△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3；
根据勾股定理AB²= AC²+BC²=25，
AB=5；
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF=1/2（AC+BC-AB）；
即：r=1/2（3+4-5）=1。
（2）由题意，如图，
连接OE，OD，OF；OA，OB，OC；则：OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC；
∴△ABC的面积=1/2AB×OE+1/2BC×OD+1/2AC×OF
∵OE=OF=OD=r，AB+BC+AC=l，
∴△ABC的面积=1/2AB×r+1/2BC×r+1/2AC×r=1/2r（AB+BC+AC）
=1/2rl。
（3）假设内切圆半径为r，则BC=r+y，AC=r+x，斜边AB=x+y，
用勾股定理：（x+r）²+（y+1）²=（x+y）²，
解得：r=xy。
点评：此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及直角三角形的性质，解答的关键是，充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和。