Question

【题目】在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AE与BF相交于点G．

（1）如图1，求证：AE⊥BF；
（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值

Answer 1

【答案】
（1）证明：

∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF=BE，

在△ABE和△BCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE=∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BGE=90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：

∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，

∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB，

∴QF=QB，

设QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，

∴QB=x，PQ=x﹣2，

在Rt△BPQ中，

∴x2=（x﹣2）2+42，

解得：x=5，

即QF=5．

【解析】（1）首先依据正方形的性质可得到∠ABE=∠BCF，BC=CD，然后再依据中点的定义得到CF=BE，接下来，由SAS可证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可证明AE⊥BF；
（2）由折叠的性质可得到FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90，然后再依据等角对等边的性质可得到QF=QB，设QF=x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可.
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和翻折变换（折叠问题）的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能正确解答此题．