题目内容

【题目】如图,抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点,其中A(﹣3,0),C(0,4),点Bx轴上,AC=BC,过点BBDx轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;

(2)当CMN是直角三角形时,求点M的坐标;

(3)试求出AM+AN的最小值.

【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+x+4;D点坐标为(3,5);(2)M点的坐标为(0,)或(0,);(3)AM+AN的最小值为

【解析】1)利用待定系数法求抛物线解析式;利用等腰三角形的性质得B(3,0),然后计算自变量为3所对应的二次函数值可得到D点坐标;

(2)利用勾股定理计算出BC=5,设M(0,m),则BN=4﹣m,CN=5﹣(4﹣m)=m+1,由于∠MCN=OCB,根据相似三角形的判定方法,当时,CMN∽△COB,于是有∠CMN=COB=90°,即;当时,CMN∽△CBO,于是有∠CNM=COB=90°,即,然后分别求出m的值即可得到M点的坐标;

(3)连接DN,AD,如图,先证明ACM≌△DBN,则AM=DN,所以AM+AN=DN+AN,利用三角形三边的关系得到DN+AN≥AD(当且仅当点A、N、D共线时取等号),然后计算出AD即可.

1)把A(﹣3,0),C(0,4)代入y=ax2﹣5ax+c,解得

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4;

AC=BC,COAB,

OB=OA=3,

B(3,0),

BDx轴交抛物线于点D,

D点的横坐标为3,

x=3时,y=﹣×9+×3+4=5,

D点坐标为(3,5);

(2)在RtOBC中,BC==5,

M(0,m),则BN=4﹣m,CN=5﹣(4﹣m)=m+1,

∵∠MCN=OCB,

∴当时,△CMN∽△COB,则∠CMN=COB=90°,

,解得m=,此时M点坐标为(0,);

时,△CMN∽△CBO,则∠CNM=COB=90°,

,解得m=,此时M点坐标为(0,);

综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,);

(3)连接DN,AD,如图,

AC=BC,COAB,

OC平分∠ACB,

∴∠ACO=BCO,

BDOC,

∴∠BCO=DBC,

DB=BC=AC=5,CM=BN,

∴△ACM≌△DBN,

AM=DN,

AM+AN=DN+AN,

DN+AN≥AD(当且仅当点A、N、D共线时取等号),

DN+AN的最小值=

AM+AN的最小值为

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