题目内容

【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°BC=6AB=10.点Q与点BAC的同侧,且AQ⊥AC

1)如图1,点Q不与点A重合,连结CQAB于点P.设AQ=xAP=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;

2)是否存在点Q,使△PAQ△ABC相似,若存在,求AQ的长;若不存在,请说明理由;

3)如图2,过点BBD⊥AQ,垂足为D.将以点Q为圆心,QD为半径的圆记为⊙Q.若点C⊙Q上点的距离的最小值为8,求⊙Q的半径.

【答案】(1) (2) 存在点Q,使ABC∽△QAP,此时AQ=(3)Q的半径为9

【解析】试题分析:(1)先由平行线分线段成比例得出, 代值即可得出结论;

2)先判断出要使△PAQ△ABC相似,只有∠QPA=90°,进而由相似得出比例式即可得出结论;

3)分点C⊙O内部和外部两种情况,用勾股定理建立方程求解即可.

试题解析:(1AQACACB=90°AQBCBC=6AC=8AB=10

AQ=xAP=y

2∵∠ACB=90°,而∠PAQ∠PQA都是锐角,要使△PAQ△ABC相似,只有∠QPA=90°

CQAB,此时ABC∽△QAC,则AQ=.故存在点Q,使ABC∽△QAP,此时AQ=

3C必在⊙Q外部,此时点C⊙Q上点的距离的最小值为CQ﹣DQ

AQ=x当点Q在线段AD上时,QD=6﹣xQC=6﹣x+8=14﹣x

x2+82=14﹣x2,解得:x=,即Q的半径为

当点Q在线段AD延长线上时,QD=x﹣6QC=x﹣6+8=x+2

∴x2+82=x+22,解得:x=15,即⊙Q的半径为9

∴⊙Q的半径为9

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