Question

【题目】如图，△ABC是以∠C为直角的直角三角形，且BC=1，AC=，圆O是△ABC的外接圆，过△ABC的内角∠C作角平分线交AB于点D，交圆O与点E，连接AE，

（1）求AE的长．

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）连接BE，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AB的长，由CE平分∠ACB结合圆周角定理可得出∠BAE＝∠BCE＝45°，进而可得出△ABE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合AB的长度即可求出AE的长度；

（2）连接OE，过点C作CF⊥AB于点F，利用面积法可求出CF的长度，利用等腰直角三角形的性质可得出OE的长度，再利用三角形的面积公式即可求出的值．

（1）连接BE，如图1所示．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=，

∴AB==2．

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACB=45°

∴∠BAE=∠BCE=45°．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴AE=AB=．

（2）连接OE，过点C作CF⊥AB于点F，如图2所示．

∵∠ACB=90°，BC=1，AC=，AB=2，

∴CF==．

∵△ABE为等腰直角三角形，AB=2，

∴OE=AB=1，OE⊥AB，

∴==．