题目内容
已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°，点E在CD边上运动（点E与C、D两点不重合），∠EAF=60°，过点E作EM∥BC交AF于点M．
（1）如图1，求证：BF+DE=EM；
（2）连接BE交AF于点N，若AF：AE=2：3，FC=4，求MN的长．
（1）如图1，求证：BF+DE=EM；
（2）连接BE交AF于点N，若AF：AE=2：3，FC=4，求MN的长．
（1）如图1，延长CB至G，使GB=DE，连接AG、EF，
∵AD∥BC，AB=AD=DC，
∴∠ABC=∠C，∠D=∠BAD，∠C+∠D=180°．
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，∠ABG=120°，
∴∠ABG=∠ADC．∠BAD=120．
∵∠EAF=60°，
∴∠BAF+∠DAE=60°．
在△ABG和△ADE中，
，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴GB=DE．AG=AE，∠BAG=∠DAE．
∴∠BAF+∠GAB=60°，
即∠GAF=60°，
∴∠GAF=∠EAF．
∵GF=GB+BF，
∴GF=DE+BF．
在△AGF和△AEF中，
，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，∠AFB=∠AFE．
∵EM∥BC，
∴∠AFB=∠EMF，
∴∠EMF=∠AFE，
∴ME=EF，
∴ME=GF，
∴BF+DE=EM；
（2）如图2，连接EF，作FQ⊥AE于Q，
∴∠AQF=∠EQF=90°．
∵∠EAF=60°，
∴∠AFQ=30°，
∴AQ=
AF．
作DH∥AF，交ME于P，交BC于H，
∵AD∥BC，
∴四边形AFHD是平行四边形，
∴AD=FH．
∵AF：AE=2：3，设AF=2x，AE=3x，
∴AQ=x，EQ=2x．
在Rt△AQF和Rt△EQF中，由勾股定理，得
FQ=
x，EF=
x，
∴EM=
x．
∵∠AFB=∠AFE，∠ABF=∠EAF=60°，
∴△ABF∽△EAF，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴BF=
，AB=
=AD=DC，
∴DE=
．
∴HC=4-
，PE=
．
∵ME∥BC，
∴△PDE∽△HDC，
∴
=
，
∴
=
，
∴x=
，
∴DE=
，AD=DC=
，AF=
．
∵AD∥ME∥CF，
∴
=
，
∴
=
，
∴AM=
．
∴MF=
．
∵ME∥BC，
∴△MNE∽△FNB，
∴
=
，
∴
=
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴MN=
．
∵AD∥BC，AB=AD=DC，
∴∠ABC=∠C，∠D=∠BAD，∠C+∠D=180°．
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，∠ABG=120°，
∴∠ABG=∠ADC．∠BAD=120．
∵∠EAF=60°，
∴∠BAF+∠DAE=60°．
在△ABG和△ADE中，
|
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴GB=DE．AG=AE，∠BAG=∠DAE．
∴∠BAF+∠GAB=60°，
即∠GAF=60°，
∴∠GAF=∠EAF．
∵GF=GB+BF，
∴GF=DE+BF．
在△AGF和△AEF中，
|
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，∠AFB=∠AFE．
∵EM∥BC，
∴∠AFB=∠EMF，
∴∠EMF=∠AFE，
∴ME=EF，
∴ME=GF，
∴BF+DE=EM；
（2）如图2，连接EF，作FQ⊥AE于Q，
∴∠AQF=∠EQF=90°．
∵∠EAF=60°，
∴∠AFQ=30°，
∴AQ=
| 1 |
| 2 |
作DH∥AF，交ME于P，交BC于H，
∵AD∥BC，
∴四边形AFHD是平行四边形，
∴AD=FH．
∵AF：AE=2：3，设AF=2x，AE=3x，
∴AQ=x，EQ=2x．
在Rt△AQF和Rt△EQF中，由勾股定理，得
FQ=
| 3 |
| 7 |
∴EM=
| 7 |
∵∠AFB=∠AFE，∠ABF=∠EAF=60°，
∴△ABF∽△EAF，
∴
| AB |
| EA |
| BF |
| AF |
| AF |
| EF |
∴
| AB |
| 3x |
| BF |
| 2x |
| 2x | ||
|
∴BF=
4
| ||
| 7 |
5
| ||
| 7 |
∴DE=
3
| ||
| 7 |
∴HC=4-
5
| ||
| 7 |
2
| ||
| 7 |
∵ME∥BC，
∴△PDE∽△HDC，
∴
| PE |
| CH |
| DE |
| DC |
∴
| ||||
4-
|
| ||||
|
∴x=
12
| ||
| 25 |
∴DE=
| 36 |
| 25 |
| 12 |
| 5 |
24
| ||
| 25 |
∵AD∥ME∥CF，
∴
| AM |
| AF |
| DE |
| DC |
∴
| AM | ||||
|
| ||
|
∴AM=
72
| ||
| 125 |
∴MF=
48
| ||
| 125 |
∵ME∥BC，
∴△MNE∽△FNB，
∴
| MN |
| NF |
| ME |
| BF |
∴
| MN |
| NF |
| ||||
|
| 7 |
| 4 |
∴
| MN |
| MN+NF |
| 7 |
| 7+4 |
∴
| MN |
| MF |
| 7 |
| 11 |
∴
| MN | ||||
|
| 7 |
| 11 |
∴MN=
336
| ||
| 1375 |
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