Question

如图，PA是⊙O的割线，且经过圆心O，与⊙O交于B、A两点，PD切⊙O于点D，AC是⊙O的一条弦，连结PC，且PC=PD．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC=PD，连结BC．求证：AB="2BC"

Answer 1

（1）连结OC、OD
在△POC和△POD中，∵OC=OD，PC=PD，PO=PO， ∴△POC≌△POD
∴∠ODP="∠OCP."
∵PD是⊙O的切线，∴∠ODP=90°，∴∠OCP="90°."
∴PC是⊙O的切线.
（2）∵PC、PD是⊙O的两条切线，
∴PC=PD，
又∵AC="PD"
∴AC=PC.
∴∠A="∠CPA"
设∠A=x，则∠COP=2x，∠CPA=x.在Rt△POC中，2x+x+90°=180°，
∴x=30°.即∠A=30°.
又∵△ABC是Rt△，
∴AB=2BC

（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，OD，通过证明△OCP≌△ODP得出∠OCP=90°即可．
（2）利用直角三角形POC内角和为180°算出∠CPA的度数，从而得出∠A的度数，再根据Rt△ABC的边角关系得出结论。