题目内容

【题目】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,该抛物线与x轴的两个交点分别为AB,与y轴的交点为C,其中A(﹣1,0).

(1)写出B点的坐标_____

(2)若抛物线上存在一点P,使得△POC的面积是△BOC的面积的2倍,求点P的坐标;

(3)点M是线段BC上一点,过点Mx轴的垂线交抛物线于点D,求线段MD长度的最大值.

【答案】(3,0)

【解析】分析:(1)直接利用二次函数的对称性得出B点坐标即可;

(2)利用三角形面积求法结合抛物线上点的坐标性质得出答案;

(3)结合题意得出MD的函数关系式,进而得出答案.

详解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,该抛物线与x轴的两个交点分别为AB,与y轴的交点为C,其中A(﹣1,0),

B点的坐标为:(3,0);

故答案为:(3,0);

(2)由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,A(﹣1,0),B(3,0),

,解得:

故抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3,

C(0,﹣3).

SPOC=2SBOC=9.

设点P的横坐标为xP,求得xP=±6.

代入抛物线的表达式,求得点P的坐标为(6,21),(﹣6,45).

(3)由点B(3,0),C(0,﹣3),得直线BC的表达式为y=x﹣3,

设点M(a,a﹣3),则点D(a,a2﹣2a﹣3).

MD=a﹣3﹣( a2﹣2a﹣3)

=﹣a2+3a

=

∴当时,MD的最大值为

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