题目内容
【题目】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B,与y轴的交点为C,其中A(﹣1,0).
(1)写出B点的坐标_____;
(2)若抛物线上存在一点P,使得△POC的面积是△BOC的面积的2倍,求点P的坐标;
(3)点M是线段BC上一点,过点M作x轴的垂线交抛物线于点D,求线段MD长度的最大值.
【答案】(3,0)
【解析】分析:(1)直接利用二次函数的对称性得出B点坐标即可;
(2)利用三角形面积求法结合抛物线上点的坐标性质得出答案;
(3)结合题意得出MD的函数关系式,进而得出答案.
详解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B,与y轴的交点为C,其中A(﹣1,0),
∴B点的坐标为:(3,0);
故答案为:(3,0);
(2)由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,A(﹣1,0),B(3,0),
则,解得:
,
故抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3,
∴C(0,﹣3).
∴.
∴S△POC=2S△BOC=9.
设点P的横坐标为xP,求得xP=±6.
代入抛物线的表达式,求得点P的坐标为(6,21),(﹣6,45).
(3)由点B(3,0),C(0,﹣3),得直线BC的表达式为y=x﹣3,
设点M(a,a﹣3),则点D(a,a2﹣2a﹣3).
∴MD=a﹣3﹣( a2﹣2a﹣3)
=﹣a2+3a
=,
∴当时,MD的最大值为
.
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