题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E,连接AE.

(1)若DAC的中点,连接DE,证明:DE是⊙O的切线;

(2)若BE=3EC,求tanABC.

【答案】见解析

【解析】试题分析:(1)要证明DE是⊙O的切线,只要证明等于90°即可,由题可得 =90°,从题上条件可得, ,所以可以得出=90°,从而得出要求证结论。(2)BE=3EC,要想利用这个条件,可放在ECAEAB中,证明ECAEAB,即可得到对应边成比例,进而得到AE、EC、EB三者之间的关系,再利用BE=3EC,求得tanABC。

试题解析:证明:(1)连接OE,

AB是⊙O的直径,AC是圆⊙O的切线,

AEBC,ACAB,

在直角△AEC中,

DAC的中点,

DE=DC,∴∠DEC=DCE,

∵∠OEB=OBE,ABC+∠ACB=90°,

∴∠DEC+∠OEB=DCE+∠OBE=90°,

∴∠DEO=180°﹣90°=90°,OEDE,

DE 是⊙O的切线;

(2)在直角△EAC与直角△EBA中,

∵∠EAC+∠EAB=90°,EBA+∠EAB=90°,

∴∠EAC=EBA,

∴△EAC∽△EBA,

,EA2=EBEC

EC=1,则EB=3,

EA2=EBEC=3,

在直角△AEB中,

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