题目内容
【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),顶点M的纵坐标为-4,若x1、x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的两个根,且x12+x22=10.
①求A、B两点的坐标;
②求抛物线的关系式及点C的坐标;
③在抛物线上是否存在点P,使△ABP的面积等于四边形ACMB面积的2倍?若存在,求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】①A(-1,0)、B(3,0);②y=x2-2x-3,C(0,-3);③存在,P1(1+,9),P2(1-
,9)
【解析】试题分析: 根据韦达定理可得出
两点横坐标的和与积,联立
可求出
的值,进而可求出
的坐标.
根据
的坐标,可得出抛物线的对称轴的解析式,即可求出其顶点
的坐标,根据得出的
三点的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式.
可先求出四边形
的面积(由于四边形
不规则,因此其面积可用分割法进行求解).然后根据
的面求出
点的纵坐标的绝对值,将其代入抛物线的解析式中即可求出
点的坐标.
试题解析: ∵若
是方程
的两个实数根,
由题意得:
∴
化简,得
解得
且当时,
,符合题意.
∴原方程可写成:
已知:
∴抛物线的对称轴为
因此抛物线的顶点坐标为
设抛物线的解析式为 则有:
=
+
+
假设存在使得
即:
当时,
解得
当时,
此方程无实数根.
∴存在符合条件的点,且坐标为

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