题目内容

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+cy轴交于点C,与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),顶点M的纵坐标为-4,若x1、x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的两个根,且x12+x22=10.

①求A、B两点的坐标;

②求抛物线的关系式及点C的坐标;

③在抛物线上是否存在点P,使△ABP的面积等于四边形ACMB面积的2倍?若存在,求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】①A(-1,0)、B(3,0);②y=x2-2x-3,C(0,-3);③存在,P1(1+,9),P2(1-,9)

【解析】试题分析: 根据韦达定理可得出两点横坐标的和与积,联立 可求出的值,进而可求出的坐标.
根据的坐标,可得出抛物线的对称轴的解析式,即可求出其顶点的坐标,根据得出的 三点的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式.
可先求出四边形的面积(由于四边形不规则,因此其面积可用分割法进行求解).然后根据的面求出点的纵坐标的绝对值,将其代入抛物线的解析式中即可求出点的坐标.

试题解析: ∵若是方程的两个实数根,

由题意得:

化简,

解得

且当, ,符合题意.

∴原方程可写成:

已知:

∴抛物线的对称轴为

因此抛物线的顶点坐标为

设抛物线的解析式为 则有:

= + +

假设存在使得

即:

, 解得

, 此方程无实数根.

∴存在符合条件的,且坐标为

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