Question

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足是点E，求CD的长．

Answer 1

分析：先利用勾股定理可计算出AB=10，有AD平分∠BAC，DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DC=DE，然后根据三角形全等的判定方法得到△ADC≌△ADE，则AE=AC=6，也是BE=AB-AE=10-6=4，设CD=x，则DE=x，DB=8-x，在Rt△BDE中，利用勾股定理得到BD²=DE²+BE²，即（8-x）2=x²+4²，再解方程即可得到CD的长．

解答：解：在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，
AB=

AC2+BC2

=10，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ADC和Rt△ADE中
AD=AD
DC=DE
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
设CD=x，则DE=x，DB=8-x，
在Rt△BDE中，BD²=DE²+BE²，即（8-x）2=x²+4²，
解得x=3，
所以CD的长为3cm．

点评：本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了勾股定理以及三角形全等的判定与性质．