Question

如图，在直角坐标系XOY中，已知两点O₁（3，0）、B（-3，0），⊙O₁与X轴交于原点0和点A，E是Y轴上的一个动点，设点E的坐标为（0，m）．
（1）当点O₁到直线BE的距离等于3时，问直线BE与圆的位置关系如何？求此时点E的坐标及直线BE的解析式；
（2）当点E在Y轴上移动时，直线BE与⊙O₁有哪几种位置关系？直接写出每种位置关系时的m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意得出⊙O1的半径，判断出直线BE与⊙O₁的关系，根据题意画出直线BE，连接O₁M，由利用勾股定理求出BM的长，由相似三角形的判定定理得出Rt△BMO₁∽Rt△BOE，求出BE的长，进而得出E点坐标，用带定系数法即可求出直线BE的解析式，根据对称的性质可知当m＜0时的直线解析式；
（2）根据（1）所求出的m的值，分三种情况进行讨论，即可得出直线BE与⊙O₁的位置关系．

解答：解：（1）当m＞0时，如图所示：
由已知得BE是⊙O₁的切线，设切点为M，连接O₁M，则O₁M⊥BM，
∴O₁M=3，
∵O₁（3，0）、B（-3，0），
∴BO₁=6，
∴BM=

(BO1)2- (MO   1 )2

=

62-32

=3

3

，
又∵OE⊥BO，
∴Rt△BOE∽Rt△BMO₁，
∴

OE

MO1

=

BO

BM

，即

OE

3

=

3

3 3

，
∴OE=

3

，
∴m=

3

，
∴E（0，

3

）
设此时直线BE的解析式是y=kx+m，
将B（-3，0）及E（0，

3

）代入上式，解得

k= 3 3 m= 3

，
∴直线BE的解析式为：y=

3

3

x+

3

，
当m＜0时，E（0，-

3

）
由圆的对称性可得：k=-

3

3

，m=-

3

时，直线BE也与⊙O1相切，
同理可得：y=-

3

3

x-

3

．
（2）当m＞

3

或m＜-

3

时，直线与圆相离，
当m=

3

或m=-

3

时，直线与圆相切，
当-

3

m＜

3

时，直线与圆相交．

点评：本题考查的是直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，在解答（1）时一定要注意符合条件的直线有两条，这是此题易忽略的地方．