题目内容

【题目】已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,点D是边OB上一定点,将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,使一直角边经过点D,另一直角与边OA交于点C.容易证得PC=PD(如图①)

(1)若另一直角边与边OA的反向延长线相交于点C(如图②),试问PC与PD还会相等吗?若相等,请予以证明;若不相等,请说明理由;

(2)已知OD=4,三角板在移动过程中,另一直角边与直线OA,直线OB分别交于点C,E,且以P,D,E为顶点的三角形与OCD相似,试求线段OP的长。

【答案】(1)PC=PD,证明见解析;(2)OP=或者或4

【解析】(1)过P点做PQ平行于x轴,交y轴于点Q,做DF垂直于PQ交于F

∵DF=0Q, ∠AOM=45,OQ=QF.

QP=DE, ∠FPD=∠QCP, ∠DFP=∠PQC

PC=PD

(2)OP=或者或4

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