题目内容
【题目】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝
（a≠0）的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是直角三角形，求出所有可能的E点坐标．
【答案】（1）y＝
，y＝﹣
x+6；（2）
．（3）E坐标为（﹣
，2）或（
，2）或（
，2）或（
，2）．
【解析】
（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）分三种情形分别讨论求解即可解决问题；
解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y＝
的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝
，
∵点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（
，4），
∴
，∴
，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y＝
x，
∴G（，1），
A（，4），
∴AG＝4﹣1＝3，
∴S△AOB＝S△AOG+S△ABG＝
×3×3＝．
（3）如图2中，
当∠AOE1＝90°时，∵直线AC的解析式为y＝
x，
∴直线OE1的解析式为y＝﹣
x，
当y＝2时，x＝﹣，
∴E1（﹣，2）．
当∠OAE2＝90°时，
直线OE1平行直线OE2
设直线OE2的解析式为y＝﹣x+b，
∴直线过点A（，4），则b=
∴直线OE2的解析式为y＝﹣x+，
当y＝2时，x＝，
∴E2（，2）．
当∠OEA＝90°时，
∵A（，4），∴OA=
∴AC＝OC＝CE＝
，
∵C（
，2），
∴可得E3（，2），E4（，2），
综上所述，满足条件的点E坐标为（﹣，2）或（，2）或（，2）或（，2）．
