Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0＜θ＜180°）得到矩形A1BC1D1，直线BA1、C1D1分别与直线CD相交于点E、F．

（1）若此矩形绕点B顺时针方向旋转90°，求DD1的长；

（2）在旋转过程中，点D、A1、D1三点共线时，求△BCE的面积；

（3）在矩形ABCD旋转的过程中，是否存在某个位置使得以B、E、F、D1为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）DD1=；（2）S△BEC=；（3）CF=18．

【解析】

（1）延长DC交C1D1于H，利用矩形的性质可得DH和HD1长，由勾股定理求解即可；

（2）连接BD，由HL定理可证△BDA1≌△DBC，设DE=BE=x，在Rt△BCE中，由勾股定理可知DE长，易知CE长，根据面积公式求解即可；

（3）由勾股定理可得EF长，根据tan∠CEB=tan∠EBD1的表示可得EC长，易求CF.

解：（1）如图1中，延长DC交C1D1于H．

∵四边形ABCD，四边形A1BC1D1是矩形，∴∠A=∠ADH=∠AC1H=90°，∴四边形ADHC1是矩形，∴DH=AC=8+6=14，HC1=AD=6，∠DHC1=∠DHD1=90°，∴HD1=8﹣6=2，∴DD1===．

（2）如图2中，连接BD．

∵∠DA1B=∠DCB=90°．BD=DB，BA1=DC，∴△BDA1≌△DBC（HL），∴∠DBA1=∠BDC，∴ED=EB，设DE=BE=x，

在Rt△BCE中，∵BE2=EC2+BC2，∴x2=（8﹣x）2+62，∴x=，∴EC=8﹣=，∴S△BEC=BCEC=×6×=．

（3）如图3中，存在．

∵四边形BD1FE是平行四边形，∴EF=BD1==10．

∵EC∥BD1，∴∠CEB=∠A1BD1，∴tan∠CEB=tan∠EBD1，∴，∴，∴EC=8，∴CF=EC+EF=8=10=18．