题目内容
【题目】如图1,在平面直径坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A(﹣3,0).B(1,0),与y轴交于点C
(1)直接写出抛物线的函数解析式;
(2)以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E,若弦CD过AB的中点M,试求出DC的长;
(3)将抛物线向上平移 个单位长度(如图2)若动点P(x,y)在平移后的抛物线上,且点P在第三象限,请求出△PDE的面积关于x的函数关系式,并写出△PDE面积的最大值.
【答案】
(1)
解:将点A(﹣3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx﹣2中,
得: ,解得: ,
∴抛物线的函数解析式为y= x2+ x﹣2
(2)
解:令y= x2+ x﹣2中x=0,则y=﹣2,
∴C(0,﹣2),
∴OC=2,CE=4.
∵A(﹣3,0),B(1,0),点M为线段AB的中点,
∴M(﹣1,0),
∴CM= = .
∵CE为⊙O的直径,
∴∠CDE=90°,
∴△COM∽△CDE,
∴ ,
∴DC= .
(3)
解:将抛物线向上平移 个单位长度后的解析式为y= x2+ x﹣2+ = x2+ x﹣ ,
令y= x2+ x﹣ 中y=0,即 x2+ x﹣ =0,
解得:x1= ,x2= .
∵点P在第三象限,
∴ <x<0.
过点P作PP′⊥y轴于点P′,过点D作DD′⊥y轴于点D′,如图所示.
(方法一):在Rt△CDE中,CD= ,CE=4,
∴DE= = ,sin∠DCE= = ,
在Rt△CDD′中,CD= ,∠CD′D=90°,
∴DD′=CDsin∠DCE= ,CD′= = ,
∴OD′=CD′﹣OC= ,
∴D(﹣ , ),D′(0, ).
∵P(x, x2+ x﹣ ),
∴P′(0, x2+ x﹣ ).
∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′= DD′ED′+ (DD′+PP′)D′P′﹣ PP′EP′=﹣ ﹣ x+2( <x<0),
∵S△PDE=﹣ ﹣ x+2=﹣ + , <﹣ <0,
∴当x=﹣ 时,S△PDE取最大值,最大值为 .
故:△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=﹣ ﹣ x+2( <x<0),且△PDE面积的最大值为 .
(方法二):在Rt△CDE中,CD= ,CE=4,
∴DE= = ,
∵∠CDE=∠CD′D=90°,∠DCE=∠D′CD,
∴△CDE∽△CD′D,
∴ = ,
∴DD′= ,CD′= ,
∴∴OD′=CD′﹣OC= ,
∴D(﹣ , ),D′(0, ).
∵P(x, x2+ x﹣ ),
∴P′(0, x2+ x﹣ ).
∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′= DD′ED′+ (DD′+PP′)D′P′﹣ PP′EP′=﹣ ﹣ x+2( <x<0),
∵S△PDE=﹣ ﹣ x+2=﹣ + , <﹣ <0,
∴当x=﹣ 时,S△PDE取最大值,最大值为 .
故:△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=﹣ ﹣ x+2( <x<0),且△PDE面积的最大值为 .
【解析】(1)由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)令抛物线解析式中x=0求出点C的坐标,根据点A、B的坐标即可求出其中点M的坐标,由此即可得出CM的长,根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM∽△CDE,根据相似三角形的性质即可得出 ,代入数据即求出DC的长度;(3)根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式,令其y=0,求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标,由此即可得出点P横坐标的范围,再过点P作PP′⊥y轴于点P′,过点D作DD′⊥y轴于点D′,通过分割图形求面积法找出S△PDE关于x的函数关系式,利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE面积的最大值.
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.