题目内容

【题目】如图,是半径为的⊙的直径,直线所在直线垂直,垂足为,点是⊙上异于的动点,直线分别交两点.

1)当点中点时,连接,判断直线与⊙是否相切并说明理由.

2)点是⊙上异于的动点,以为直径的动圆是否经过一个定点,若是,请确定该定点的位置;若不是,请说明理由.

【答案】(1)CP为⊙O切线,理由详见解析;(2)以 MN 为直径的动圆过定点DCD=

【解析】

1)如图1,根据同角的余角相等可得:∠AMC=ABP=OPB,从而得OPPC,可知:直线PC与⊙O相切;
2)如图2,设该圆与AC的交点为D,连接DMDN,证MDC∽△DNC得比例式,同理证ACM∽△NCB,得DC的长,则以MN为直径的一系列圆经过定点D,此顶点D在直线AB上且CD的长为,同理在MN的右侧 还有一个点D',到C的距离也是..

1)直线PC与⊙O相切,
理由是:如图所示:

ACMN
∴∠ACM=90°
∴∠A+AMC=90°
AB是⊙O的直径,
∴∠APB=NPM=90°
∴∠PNM+AMC=90°=A+ABP
∴∠ABP=AMC
OP=OB
∴∠ABP=OPB
RtPMN中,CMN的中点,
PC=CN
∴∠PNM=NPC
∴∠OPC=OPB+NPC=ABP+PNM=AMC+PNM=90°
OPPC
∴直线PC与⊙O相切;
2)如图2,设该圆与AC的交点为D,连接DMDN
MN为直径,
∴∠MDN=90°
则∠MDC+NDC=90°
∵∠DCM=DCN=90°
∴∠MDC+DMC=90°
∴∠NDC=DMC
MDC∽△DNC
,即DC2=MCNC
∵∠ACM=NCB=90°,∠A=BNC
∴△ACM∽△NCB
,即MCNC=ACBC
ACBC=DC2
AC=AO+OC=2+3=5BC=3-2=1
DC2=5
DC=
MNDD'
D'C=DC=
∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点DD',此定点在C的距离都是

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