题目内容
【题目】如图，四边形 
是正方形， 
是 
垂直平分线上的点，点 关于 
的对称点是 
，直线 
与直线 
交于点 
.
（1）若点 是 边的中点，连接 
，则 
＝；
（2）小明从老师那里了解到，只要点 不在正方形的中心，则直线 与 
所夹锐角不变．他尝试改变点 的位置，计算相应角度，验证老师的说法．
如图，将点 选在正方形内，且△ 
为等边三角形，求出直线 与 所夹锐角的度数；
（3）请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法.
我选择小明的想法；并简述求直线 与 所夹锐角度数的思路．
【答案】
（1）45
（2）
解：∵ 
是等边三角形，
∴ 
， 
．
∵四边形 
是正方形，
∴ 
， 
， 
．
∴ 
， 
．
∴ 
．
∵点 
是点 
关于 
的对称点，
∴ 
．
∴ 
．
∴ 
．
∴ 
．
∵ 
，
∴ 
≌ 
∴ 
．
∴ 
．
∴ 
（3）
解：如果沿用小明的想法：
方法一：如图，我将点 选在 
边的中点．
∵四边形 是正方形，
∴ 
， 
， 
， 
．
∵点 是点 关于 的对称点，
∴ 
.
∴ 
.
∴ 在 
上.
∴ 
在直线 上.
∴ 
.
∴ 
， 
.
∵ 是 的中点，
∴ 
，
∴ 
≌ 
．
∴ 
.
∴ 
.
∵ 
，
∴ 是等腰直角三角形.
∴ 
.
∴ 
.
∴直线 
与 
所夹锐角为 
．
方法二：如图，我将点 选在正方形外，使 
的位置，
连接 
．
∵四边形 是正方形，
∴ 
， 
．
∵ 在 
的垂直平分线上，
∴ 
．
∴ 
．
∵ ，
∴ 
， 
．
∴ 
．
∵点 是点 关于 的对称点，
∴ 
．
∴ ， 
， 三点共线.
∴点 与点 重合．
∴ 
， 
．
∴ 
．
∴ 
≌ 
．
∴ 
．
【解析】（1）根据已知条件画出图形即可求得∠ FAD度数.
（2）由等边三角形的性质得 ∠EBA=∠EAB=60° ， BE=EA=AB ；由正方形性质得 AB=AD ， ∠ABD=45° ， ∠BAD=90° ；等量代换得AE=AD， ； ∠EAD=∠BAD∠BAE=30° ， ∠AED=75° ；由条件证ΔABF ≌ ΔEBF，根据全等三角形的性质得FA=FE ；∠FAE=∠FEA=75° ；∠FAD=∠FAE∠EAD=45°
（3）点 E 选在正方形外，使 ∠EDC=45° 的位置，连接 CE ．
由正方形性质得， DA=DC ， ∠BDA=∠BDC=45° ；由E垂直平分线得性质得ED=CE ，由等腰三角形的性质得ED⊥BD ；再由已知条件证
ΔADF ≌ ΔCDE ；根据等腰三角形的性质得 ∠FAD=∠ECD=45° .
【考点精析】掌握等腰直角三角形和等边三角形的性质是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．
