题目内容
如图，已知点A（-3，5）在抛物线y=
x2+c的图象上，点P从抛物线的顶点Q出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向正方向运动，连接AP并延长，交抛物线于点B，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为C、D，连接AQ、BQ．（1）求抛物线的解析式；
（2）当A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形时，求点P离开点Q多少时间？
（3）试探索当AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）时，点P离开点Q的时刻．
【答案】分析：（1）把点A（-3，5）代入抛物线y=
x2+c，即可求出c的值，从而得二次函数解析式；
（2）根据P为动点以及A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①若AQ⊥BQ，过点Q作MQ⊥y轴，可证△AMQ∽△QNB．②若AQ⊥AB，由于AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，然后根据相似三角形的性质解答；
（3）根据AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等，分三种情况讨论：①AC=BD，AP=BP时，根据轴对称的性质解答；②AC=AP时，利用勾股定理结合一次函数解析式解答．
解答：解：（1）把A（-3，5）代入得：5=
×9+c，
∴c=
．
（2）①若AQ⊥BQ，过点Q作MQ⊥y轴，过点Q作QN⊥BD于点N，
可证△AMQ∽△QNB．
∵AM=AC-MC=
，MQ=3，
∴
．
设B（3k，2k+
），
代入抛物线解析式得：k=
，即B（
，
）．
∴直线AB的解析式为：
．
∴OP=
，
∴PQ=2．
②若AQ⊥AB，
∵AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，
又由勾股定理得AQ=
．
∴PQ=
．
∴对应的时刻t为：2或
．
（3）①若AC=BD，AP=BP，
此时点A与点B关于y轴对称，
∴OP=AC=5，
∴PQ=4
．
②若AC=AP，
设P（0，y），则：9+（y-5）2=25，
解之得，y=1，即OP=1．
∴PQ=
．
此时，直线AP解析式为：
．
与抛物线的交点B为（
，
），
∴PB=
=BD．
∴满足条件的时刻为：
和4
．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合及分类讨论的数学思想方法．
x2+c，即可求出c的值，从而得二次函数解析式；（2）根据P为动点以及A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①若AQ⊥BQ，过点Q作MQ⊥y轴，可证△AMQ∽△QNB．②若AQ⊥AB，由于AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，然后根据相似三角形的性质解答；
（3）根据AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等，分三种情况讨论：①AC=BD，AP=BP时，根据轴对称的性质解答；②AC=AP时，利用勾股定理结合一次函数解析式解答．
解答：解：（1）把A（-3，5）代入得：5=
×9+c，∴c=
．（2）①若AQ⊥BQ，过点Q作MQ⊥y轴，过点Q作QN⊥BD于点N，
可证△AMQ∽△QNB．
∵AM=AC-MC=
，MQ=3，∴
．设B（3k，2k+
），代入抛物线解析式得：k=
，即B（，）．∴直线AB的解析式为：
．∴OP=
，∴PQ=2．
②若AQ⊥AB，
∵AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，
又由勾股定理得AQ=
．∴PQ=
．∴对应的时刻t为：2或
．（3）①若AC=BD，AP=BP，
此时点A与点B关于y轴对称，
∴OP=AC=5，
∴PQ=4
．②若AC=AP，
设P（0，y），则：9+（y-5）2=25，
解之得，y=1，即OP=1．
∴PQ=
．此时，直线AP解析式为：
．与抛物线的交点B为（
，），∴PB=
=BD．∴满足条件的时刻为：
和4．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合及分类讨论的数学思想方法．
练习册系列答案
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B、
| ||||
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| ||||
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