题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(3,0),点C三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)x轴上是否存在点P,使PC+PB最小?若存在,请求出点P的坐标及PC+
PB的最小值;若不存在,请说明理由;
(3)连接BC,设E为线段BC中点.若M是抛物线上一动点,将点M绕点E旋转180°得到点N,当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时,直接写出点N的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P(,0);PC+
PB的最小值
;(3)N(
,
)或(
,
).
【解析】
(1)先按抛物线与x轴的交点坐标设出抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),展开,即可得出结论;
(2)在x轴下方作∠ABD=30°,交y轴负半轴于D,先求出OD=,BD=
,进而求出CD=3+
,再判断出当点C,P,B在同一条直线上时,PC+
最小,最小值为CB',即可得出结论;
(3)先判断出点M在x轴上方的抛物线,再构造出△BEM∽△CFM,得出即可得出结论.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3)=ax2﹣2ax﹣3a,
∴﹣3a=3,
∴a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)如图,
在x轴下方作∠ABD=30°,交y轴负半轴于D,则BD=2OD,
∵B(3,0),
∴OB=3,
根据勾股定理得,BD2﹣OD2=32,
∴4OD2﹣OD2=9,
∴OD= ,BD=
,
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,
∴C(0,3),
∴OC=3,
∴CD=3+ ,
过点P作PB'⊥BD于B',
在Rt△PB'B中,PB'=PB,
∴PC+ PB=PC+PB',
当点C,P,B在同一条直线上时,PC+PB最小,最小值为CB',
∵S△BCD=CDOB=
BDCB',
∴
即PC+PB的最小值
,
∵OB=OC=3,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∴∠DBC=45°+30°=75°,
∴∠BCP=90°﹣75°=15°,
∴∠OCP=30°,
∵OC=3,
∴OP= ,
∴P(,0);
(3)如备用图,
设M(m,﹣m2+2m+3),
以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形,
∴∠BMC=90°,
∵点A在x轴负半轴,且∠BOC=90°,
∴点M在x轴上方的抛物线,
过点M作ME⊥x轴于E,作MF⊥y轴于F,
∴∠MEO=∠MFO=90°=∠EOF,
∴四边形OEMF是矩形,
∴∠EMF=90°,
∴∠BME=∠CMF,
∵ ∠BEM=∠CFM=90°,
∴△BEM∽△CFM,
∴
∴
∴m= ,
∴M( ,
)或(
,
),
∵点N是点M关于点E(,
)的对称点,
∴或

【题目】在某项比赛中,已知不同小组的甲、乙两队的五次预选赛成绩(每次比赛的成绩为0分,10分,20分三种情况)分别如下列不完整的统计表及条形统计图所示.
甲队五次预选赛成绩统计表
比赛场次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
成绩(分) | 20 | 0 | 20 | x | 20 |
乙队五次预选赛成绩条形统计图
已知甲、乙两队五次预选赛成绩的众数相同,平均数也相同.
(1)求出乙第四次预选赛的成绩;
(2)求甲队成绩的平均数及x的值;
(3)从甲、乙两队前3次比赛中随机各选择一场比赛的成绩进行比较,求选择到的甲队成绩优于乙队成绩的概率.