题目内容

【题目】如图,抛物线yax2+bx+3a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣10),B30),点C三点.

1)求抛物线的解析式;

2x轴上是否存在点P,使PC+PB最小?若存在,请求出点P的坐标及PC+PB的最小值;若不存在,请说明理由;

3)连接BC,设E为线段BC中点.若M是抛物线上一动点,将点M绕点E旋转180°得到点N,当以BCMN为顶点的四边形是矩形时,直接写出点N的坐标.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2P0);PC+PB的最小值;(3N)或().

【解析】

1)先按抛物线与x轴的交点坐标设出抛物线的解析式为y=ax+1)(x-3),展开,即可得出结论;

2)在x轴下方作∠ABD=30°,交y轴负半轴于D,先求出OD=BD= ,进而求出CD=3+ ,再判断出当点CPB在同一条直线上时,PC+最小,最小值为CB',即可得出结论;

3)先判断出点Mx轴上方的抛物线,再构造出△BEM∽△CFM,得出即可得出结论.

解:(1)∵抛物线yax2+bx+3a≠0)与x轴交于点A(﹣10),B30),

∴设抛物线的解析式为yax+1)(x3)=ax22ax3a

∴﹣3a3

a=﹣1

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

2)如图,

x轴下方作∠ABD30°,交y轴负半轴于D,则BD2OD

B30),

OB3

根据勾股定理得,BD2OD232

4OD2OD29

OD BD

∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

C03),

OC3

CD3+

过点PPB'BDB'

RtPB'B中,PB'PB

PC+ PBPC+PB'

当点CPB在同一条直线上时,PC+PB最小,最小值为CB'

SBCDCDOBBDCB'

PC+PB的最小值

OBOC3

∴∠OBC=∠OCB45°

∴∠DBC45°+30°75°

∴∠BCP90°75°15°

∴∠OCP30°

OC3

OP

P0);

3)如备用图,

Mm,﹣m2+2m+3),

BCMN为顶点的四边形是矩形,

∴∠BMC90°

∵点Ax轴负半轴,且∠BOC90°

∴点Mx轴上方的抛物线,

过点MMEx轴于E,作MFy轴于F

∴∠MEO=∠MFO90°=∠EOF

∴四边形OEMF是矩形,

∴∠EMF90°

∴∠BME=∠CMF

BEM=∠CFM90°

∴△BEM∽△CFM

m

M )或( ),

∵点N是点M关于点E)的对称点,

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