题目内容
【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,O点在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线,与AB的延长线相交于点P.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)求证:△PBD∽△DCA;
(3)当AB=6,AC=8时,求线段PB的长.
【答案】
(1)证明:∵圆心O在BC上,
∴BC是圆O的直径,
∴∠BAC=90°,
连接OD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠DAC,
∵∠DOC=2∠DAC,
∴∠DOC=∠BAC=90°,即OD⊥BC,
∵PD∥BC,
∴OD⊥PD,
∵OD为圆O的半径,
∴PD是圆O的切线
(2)证明:∵PD∥BC,
∴∠P=∠ABC,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠P=∠ADC,
∵∠PBD+∠ABD=180°,∠ACD+∠ABD=180°,
∴∠PBD=∠ACD,
∴△PBD∽△DCA
(3)解:∵△ABC为直角三角形,
∴BC2=AB2+AC2=62+82=100,
∴BC=10,
∵OD垂直平分BC,
∴DB=DC,
∵BC为圆O的直径,
∴∠BDC=90°,
在Rt△DBC中,DB2+DC2=BC2,即2DC2=BC2=100,
∴DC=DB=5 ,
∵△PBD∽△DCA,
∴ = ,
则PB= = = .
【解析】(1)由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角,再由AD为角平分线,得到一对角相等,根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角,与平行线中的一条垂直,与另一条也垂直得到OD与PD垂直,即可得证;(2)由PD与BC平行,得到一对同位角相等,再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD,根据同角的补角相等得到一对角相等,利用两对角相等的三角形相似即可得证;(3)由三角形ABC为直角三角形,利用勾股定理求出BC的长,再由OD垂直平分BC,得到DB=DC,根据(2)的相似,得比例,求出所求即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方).