Question

【题目】已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，

∴ ，解得 ，

故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）

解：∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，

∴当x= =﹣1时，y=4，

∴M（﹣1，4）．

（3）

解：由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，

∴MN∥M′N′且MN=M′N′．

∴MNNN′=16，

∴NN′=4．

i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；

ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．

∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．

【解析】（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和二次函数图象的平移，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减才能得出正确答案．