题目内容

如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰梯形ABCD四个顶点都在抛物线y=ax²+bx+c上，其中点A、B在x轴上，点D在y轴上，且CD∥AB，已知S_梯形ABCD=8，tan∠DAO=4，点B的坐标为（2，0），点E坐标为（0，-1）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若△OEB从点B开始以 $数学公式$ 个单位每秒的速度沿BD向终点D匀速运动．设运动时间为
t秒，在整个运动过程中，当边OE与线段AD相交时，求运动时间t的取值范围；
（3）能否将△OEB绕平面内某点旋转90°后使得△OEB的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）在等腰梯形ABCD中，S_梯形ABCD=8，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴OD=4，
∴D（0，4），
∵tan∠DAO=4，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
把A（-1，0）、B（2，0）、D（0，4）代入y=ax²+bx+c得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴y=-2x²+2x+4．

（2）当点O在线段AD上时，如图，
BB₁= $\text{[math]}$ t，B₁O₁=2，B₁H=2t，BH=t，
B₁G=2-t，O₁G=2-（2-t）=t
由△DO₁G∽△DAO得
$\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ，
当点E在线段AD上时，如图，
BB₁= $\text{[math]}$ t，B₁H=2 t，BH=t，
∵B₁O₁=2，
∴E₁G=t，DG=4-（2t-1）=5-2t
由△DO₁G∽△DAO得：
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；

（3）（-2，2）（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（3， $\text{[math]}$ ）（-1， $\text{[math]}$ ），
分为3种情况，①旋转后OE在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BE在抛物线上．
1、旋转后OE在抛物线上：
设为O′E′，则O′E′平行于x轴，抛物线y=-2x²+2x+4=-2（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，对称轴x= $\text{[math]}$ ，
则x₁= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |OE|= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0，x₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1．
则两点为（0，4）、（1，4）．
这时分别：1）O′（0，4）、E′（1，4）．
然后分两种情况分别作OO'，EE'的中垂线，其交点即为其旋转中心．
∵OO′的解析式为y=2，易得，EE′的解析式为y= $\text{[math]}$ x-1，则EE′的中点坐标为（1， $\text{[math]}$ ），
其中垂线解析式为y=- $\text{[math]}$ x+b，将（1， $\text{[math]}$ ）代入解析式得，b= $\text{[math]}$ ，
则解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，当y=2时，x=-2．
旋转中心坐标为（-2，2）．
2、旋转后OB在抛物线上：
OB∥y轴，则O′B′∥x轴，但抛物线y=-2x²+2x+8=-2（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，不成立．
3、旋转后BE在抛物线上：
BE边旋转90°后所得线段B'E'与BE垂直，直线斜率k_BE= $\text{[math]}$ ，则k_B'E'=-2．
设旋转后B'E'所在直线方程为：y=-2x+m．
抛物线：y=-2x²+2x+4，联立，解方程，得：
（x，y）=（2，m-4-2）或（x，y）=（2-，m-4+2）
此为两交点坐标，求距离使其等于|BE|=2．有：
|BE|=2，从而有m=11，
两点坐标：（3，5），（1，9）．
然后分1）B′（3，5），E′（1，9）；2）E′（3，5），B′（1，9）两种情况，
分别作BB′与EE′的垂直平分线，两者交点即为其旋转中心．
综上，同1中解法，共有5种可能性，5个旋转中心，（-2，2），（-4，4）（5，3）（6，3）（-2，3）．
分析：（1）利用等腰梯形ABCD的面积为8求得点D和点A的坐标，然后利用待定系数法求得二次函数的解析式即可；
（2）当点O在线段AD上时和当点E在线段AD上时，利用△DO₁G∽△DAO求得t的值即可；
（3）分为3种情况，①旋转后OE在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BE在抛物线上讨论即可得到有四个不同的旋转中心．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是二次函数的知识与旋转、对称、平移等知识的结合更是近几年中考的热点考题之一，难度较大．