Question

如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．(1)试说明：△ABD≌△BCE． (2)△AEF与△ABE相似吗?请说明理由．
(3)试说明：BD²=AD·DF．

Answer 1

证明见解析

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BAC-∠BAD=∠CBA-∠CBE，
∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
（3）BD²=AD•DF；
证明：由△ABD≌△BCE，得∠EBC=∠DAB，
又∵∠ADB=∠BDF，
∴△BDF∽△ADB；
∴BD AD ="DF" BD ，即BD²=AD•DF；
（1）根据等边三角形各边长相等和各内角为60°的性质可以求证△ABD≌△BCE；
（2）根据全等三角形对应角相等性质可得∠BAD=∠CBE，进而可以求得∠EAF=∠EBA，即可求证△EAF∽△EBA，
（3）由（1）的△ACD≌△BAE可得出：∠DAC=∠ABE，再加上公共角∠AEF，可根据两个对应角相等的三角形相似证得．