题目内容
如图①,将一个内角为120°的菱形纸片沿较长对角线剪开,得到图②的两张全等的三角形纸片.将这两张三角形纸片摆放成图③的形式.点B、F、C、D在同一条直线上,AB分别交DE、EF于点P、M,AC交DE于点N.
(1)求证:△APN≌△EPM.
(2)连接CP,试确定△CPN的形状,并说明理由.
(3)当P为AB的中点时,求△APN与△DCN的面积比.
(1)求证:△APN≌△EPM.
(2)连接CP,试确定△CPN的形状,并说明理由.
(3)当P为AB的中点时,求△APN与△DCN的面积比.
(1)证明见解析(2)直角三角形,理由见解析(3)△APN与△DCN的面积比为3:1
(1)由菱形性质得∠A=∠B=∠D=∠E, ∴PB=PD. ………………1分
∵AB=DE,∴PA=PE.………………………………………………………2分
∵∠EPM=∠APN,
∴△APN≌△EPM.………………………………………………………3分
(2)∵∠ACB=∠DFE=120°,AC=BC=DF=FE,
∴∠D=∠A=∠B=30°.∴∠ACD=60°.………………………5分
∴∠CNP=90°
∴△CPN是直角三角形…………………………………………………………6分
(3)∵CA=CB,P为AB中点,∴∠ACP=60° ……………………………………7分
在Rt△CPN中,∴PN:CN=tan60°=:1.………………………………8分
∵∠D=∠A,∠APN=∠DNC, ∴△ANP∽△DNC.
∴.
即△APN与△DCN的面积比为3:1.……………………………………………9分
(1)我们可以利用菱形的性质及全等三角形的判定方法AAS判定△APN≌△EPM.
(2)求出∠D、∠ACD的度数,从而得出∠CNP=90°,从而得出△CPN是直角三角形;
(3)要求△APN与△DCN的面积比,我们可以根据菱形的性质及已知,得到PN:CN=,根据相似三角形的判定,得到△ANP∽△DNC,即△APN与△DCN的面积比为3:1.
∵AB=DE,∴PA=PE.………………………………………………………2分
∵∠EPM=∠APN,
∴△APN≌△EPM.………………………………………………………3分
(2)∵∠ACB=∠DFE=120°,AC=BC=DF=FE,
∴∠D=∠A=∠B=30°.∴∠ACD=60°.………………………5分
∴∠CNP=90°
∴△CPN是直角三角形…………………………………………………………6分
(3)∵CA=CB,P为AB中点,∴∠ACP=60° ……………………………………7分
在Rt△CPN中,∴PN:CN=tan60°=:1.………………………………8分
∵∠D=∠A,∠APN=∠DNC, ∴△ANP∽△DNC.
∴.
即△APN与△DCN的面积比为3:1.……………………………………………9分
(1)我们可以利用菱形的性质及全等三角形的判定方法AAS判定△APN≌△EPM.
(2)求出∠D、∠ACD的度数,从而得出∠CNP=90°,从而得出△CPN是直角三角形;
(3)要求△APN与△DCN的面积比,我们可以根据菱形的性质及已知,得到PN:CN=,根据相似三角形的判定,得到△ANP∽△DNC,即△APN与△DCN的面积比为3:1.
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