题目内容
【题目】如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．
把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得 
解得a=﹣1，b=﹣2
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）
（2）
解：△BCD是直角三角形．
理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC2=OB2+OC2=18
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，
∴CD2=DF2+CF2=2
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，
∴BD2=DE2+BE2=20
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD为直角三角形．
解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．
在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3
∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°
∴△BCD为直角三角形
（3）
解：①△BCD的三边， 
= 
= 
，又 
= ，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a， 
= 
，即 
= 
，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则 
= ，即 
= 
，解得：b=﹣ ，故P是（0，﹣ ）时，则△ACP∽△CBD一定成立；
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．
则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时， = 
，即 = 
，解得：d=1﹣3 
，此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．
则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时， = 
，即 = 
，解得：e=﹣9，符合条件．
总之，符合条件的点P的坐标为： 
．
【解析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
