题目内容
【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°.
(1)求证:AB=AC;并请你用文字叙述直角三角形的这条性质,把它写在下列横线上:
;
(2)利用(1)题所得结论继续解答下列问题:
如图2,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连结DE、EF.
①求证:四边形AEFD是平行四边形;
②当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②或4.
【解析】试题分析:(1)延长AB至P,使BP=AB,连结PC,证明PA=CA ,所以AB= .
(2) ①证明AE,DF平行且相等. ②需分类讨论,当∠EDF=90°时,令△AED是直角三角形,∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE.求t值.当∠EFD=90°时,2AD=AE.求t值.
试题解析:
(1)证明:延长AB至P,使BP=AB,连结PC,
∵ ∠ABC=90°,
∴BC是AP的垂直平分线,
∴AC=CP,
∵∠C=30°,
∴ ∠A=60°,
∴PA=CA,
∴,
这条性质是:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;
(2)①在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,∴DF=t,
又∵AE=t,∴AE=DF,
∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF
又AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形.
②解得AB=5,AC=10
当∠EDF=90°时,
在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE.即10-2t=2t, ,
当∠DEF=90°时,由(2)知EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=90°-∠C=60°,
∴2AD=AE,
即
当∠EFD=90°时,此种情况不存在,
综上所述,当或4时,△DEF为直角三角形.