题目内容

【题目】在数学活动课上,研究用正多边形镶嵌平面.请解决以下问题:

(1)用一种正多边形镶嵌平面

例如,用 6 个全等的正三角形镶嵌平面,摆放方案如图所示:

若用 m 个全等的正 n 边形镶嵌平面,求出 m,n 应满足的关系式;

(2)用两种正多边形镶嵌平面

若这两种正多边形分别是边长相等的正三角形和正方形,请画出两种不同的摆放方案;

(3)用多种正多边形镶嵌平面

若镶嵌时每个顶点处的正多边形有 n 个,设这 n 个正多边形的边数分别为 x1,x2,…,xn,求出 x1,x2,…,xn 应满足的关系式.(用含 n 的式子表示)

【答案】(1)2m+2n=mn (2)见解析 (3)++…+=

【解析】

利用mn表示多边形内角和即可得;

根据题意画出图形即可;

若镶嵌时每个顶点处的正多边形有 n 个,则把每个正多边形的内角加一起是360°,列出式子进行变形.

解:(1)正边形的内角和为

故每个内角的度数为

依题意得:

整理得:

2)如图:

3)若镶嵌时每个顶点处的正多边形有 n 个,则

360°

180°n360°

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