题目内容
【题目】在数学活动课上,研究用正多边形镶嵌平面.请解决以下问题:
(1)用一种正多边形镶嵌平面
例如,用 6 个全等的正三角形镶嵌平面,摆放方案如图所示:
若用 m 个全等的正 n 边形镶嵌平面,求出 m,n 应满足的关系式;
(2)用两种正多边形镶嵌平面
若这两种正多边形分别是边长相等的正三角形和正方形,请画出两种不同的摆放方案;
(3)用多种正多边形镶嵌平面
若镶嵌时每个顶点处的正多边形有 n 个,设这 n 个正多边形的边数分别为 x1,x2,…,xn,求出 x1,x2,…,xn 应满足的关系式.(用含 n 的式子表示)
【答案】(1)2m+2n=mn (2)见解析 (3)++…+=
【解析】
利用m、n表示多边形内角和即可得;
根据题意画出图形即可;
若镶嵌时每个顶点处的正多边形有 n 个,则把每个正多边形的内角加一起是360°,列出式子进行变形.
解:(1)正边形的内角和为,
故每个内角的度数为,
依题意得:,
整理得:,
即;
(2)如图:
(3)若镶嵌时每个顶点处的正多边形有 n 个,则
=360°
180°n-=360°
+…+.
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