题目内容

【题目】如图,边长为4的大正方形ABCD内有一个边长为1的小正方形CEFG,动点P以每秒1cm的速度从点A出发,沿ADEFGB的路线绕多边形的边匀速运动到点B停止(不含点A和点B).设ABP的面积为S,点P的运动时间为t

1)小颖通过认真的观察分析,得出了一个正确的结论:当点P在线段DE上运动时,存在着同底等高的现象,因此当点P在线段DE上运动时ABP的面积S始终不发生变化.

问:在点P的运动过程中,还存在类似的现象吗?若存在,请说出P的位置;若不存在,请说明理由.

2)在点P的运动过程中ABP的面积S是否存在最大值?若存在,请求出最大面积;若不存在,请说明理由.

3)请写出St之间的关系式.

【答案】(1)在点P的运动过程中,还存在类似的现象,当点P在线段GF上运动时,存在着同底等高的现象,当点P在线段GF上运动时,△ABP的面积S始终不发生变化.(2)8;(3)①当点PAD上时,S =2t0t≤4),

②当点PDE上时,S=84t≤7),

③当点PEF上时,S=22-2t7t≤8),

④当点PGF上时,S=68t≤9),

⑤当点PGB上时,S=24-2t9t12).

【解析】

1)根据GFAB,可得当点P在线段GF上运动时,存在着同底等高的现象,即当点P在线段GF上运动时,ABP的面积S始终不发生变化.

2)当点P在线段DE上运动时,AB边上的高为4,据此可得ABP的面积S最大值为:AB×AD=×4×4=8

3)分5种情况进行讨论:①当点PAD上时,②当点PDE上时,③当点PEF上时,④当点PGF上时,⑤当点PGB上时,分别根据ABP的面积计算方法,得出St之间的关系式.

1)在点P的运动过程中,还存在类似的现象.

∵∠ABG+BGF=180°

GFAB

∴当点P在线段GF上运动时,存在着同底等高的现象,

∴当点P在线段GF上运动时,ABP的面积S始终不发生变化;

2)∵△ABP中,AB的长不变,

∴当AB边上的高最大时,ABP的面积S存在最大值,

故当点P在线段DE上运动时,AB边上的高为4

∴△ABP的面积S最大值为:AB×AD=×4×4=8

3)分5种情况:

①当点PAD上时,S=×4×t=2t0t≤4),

②当点PDE上时,S=×4×4=84t≤7),

③当点PEF上时,S=×4×[4-t-7]=211-t=22-2t7t≤8),

④当点PGF上时,S=×4×3=68t≤9),

⑤当点PGB上时,S=×4×[4-t-8]=212-t=24-2t9t12).

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