题目内容
【题目】如图,边长为4的大正方形ABCD内有一个边长为1的小正方形CEFG,动点P以每秒1cm的速度从点A出发,沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B停止(不含点A和点B).设△ABP的面积为S,点P的运动时间为t.
(1)小颖通过认真的观察分析,得出了一个正确的结论:当点P在线段DE上运动时,存在着“同底等高”的现象,因此当点P在线段DE上运动时△ABP的面积S始终不发生变化.
问:在点P的运动过程中,还存在类似的现象吗?若存在,请说出P的位置;若不存在,请说明理由.
(2)在点P的运动过程中△ABP的面积S是否存在最大值?若存在,请求出最大面积;若不存在,请说明理由.
(3)请写出S与t之间的关系式.
【答案】(1)在点P的运动过程中,还存在类似的现象,当点P在线段GF上运动时,存在着“同底等高”的现象,当点P在线段GF上运动时,△ABP的面积S始终不发生变化.(2)8;(3)①当点P在AD上时,S =2t(0<t≤4),
②当点P在DE上时,S=8(4<t≤7),
③当点P在EF上时,S=22-2t(7<t≤8),
④当点P在GF上时,S=6(8<t≤9),
⑤当点P在GB上时,S=24-2t(9<t<12).
【解析】
(1)根据GF∥AB,可得当点P在线段GF上运动时,存在着“同底等高”的现象,即当点P在线段GF上运动时,△ABP的面积S始终不发生变化.
(2)当点P在线段DE上运动时,AB边上的高为4,据此可得△ABP的面积S最大值为:AB×AD=×4×4=8;
(3)分5种情况进行讨论:①当点P在AD上时,②当点P在DE上时,③当点P在EF上时,④当点P在GF上时,⑤当点P在GB上时,分别根据△ABP的面积计算方法,得出S与t之间的关系式.
(1)在点P的运动过程中,还存在类似的现象.
∵∠ABG+∠BGF=180°,
∴GF∥AB,
∴当点P在线段GF上运动时,存在着“同底等高”的现象,
∴当点P在线段GF上运动时,△ABP的面积S始终不发生变化;
(2)∵△ABP中,AB的长不变,
∴当AB边上的高最大时,△ABP的面积S存在最大值,
故当点P在线段DE上运动时,AB边上的高为4,
∴△ABP的面积S最大值为:AB×AD=×4×4=8;
(3)分5种情况:
①当点P在AD上时,S=×4×t=2t(0<t≤4),
②当点P在DE上时,S=×4×4=8(4<t≤7),
③当点P在EF上时,S=×4×[4-(t-7)]=2(11-t)=22-2t(7<t≤8),
④当点P在GF上时,S=×4×3=6(8<t≤9),
⑤当点P在GB上时,S=×4×[4-(t-8)]=2(12-t)=24-2t(9<t<12).