Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．四边形MEFN面积的最大值是（　　）

• A、

  49

  3

• B、

  7

  3

• C、

  49

  6

• D、

  7

  6

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：压轴题

分析：作梯形ABCD的高DG、CH，先通过梯形两底的差和腰的长求出DG=4，再证明△MEA≌△NFB，得到AE=BF，设AE=x，则EF=7-2x，根据△MEA∽△DGA，求出ME=

4

3

x，根据矩形的面积公式得出S_矩形MEFN和x的关系式，化成顶点式即可求出答案．

解答：解：如图，分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH．
∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴AG=BH=

1

2

（AB-GH）=3．
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
∴DG=4．
∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠MEF=90°，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四边形MEFN为矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF，
设AE=x，则EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴

AE

AG

=

ME

DG

，
∴ME=

4

3

x，
S_矩形MEFN=ME•EF=

4

3

x（7-2x）=-

8

3

（x-

7

4

）²+

49

6

．
当x=

7

4

时，ME=

7

3

＜4，
∴四边形MEFN面积的最大值为

49

6

．
故选C．

点评：本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰梯形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值等知识点，综合运用性质和判定进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强，有一定的难度．