Question

【题目】已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．

(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是________，QE与QF的数量关系是________；

(2)如图②，当点P在线段AB上且不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并说明理由．

(温馨提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

Answer 1

【答案】(1)AE∥BF,QE＝QF;(2) QE=QF，理由见解析.

【解析】试题分析：(1)、根据AAS推出△AEQ和△BFQ全等即可得出答案；(2)、延长EQ交BF于D，求出△AEQ和△BDQ全等，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．

试题解析：(1)、如图1,

当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF,
理由：∵Q为AB的中点， ∴AQ=BQ， ∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，

∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，∴△AEQ≌△BFQ， ∴QE=QF；
(2)、QE=QF证明：如图2，延长EQ交BF于D,

∵由(1)知：AE∥BF， ∴∠AEQ=∠BDQ， ∴△AEQ≌△BDQ， ∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°， ∴QE=QF．