题目内容

【题目】如图,点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点,DEAC于点E,DFBC于点F.

(1)求证:CE=CF;

(2)点C运动到什么位置时,四边形CEDF成为正方形?请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)CD=AB时,四边形CEDF为正方形,理由见解析.

【解析】

试题分析:(1)由CD垂直平分线AB,可得AC=CB,∴∠ACD=BCD,再加EDC=FDC=90°,可证得ACD≌△BCD(ASA),CE=CF;

(2)因为有三个角是直角,且邻边相等的四边形是正方形.所以当CD=AB时,四边形CEDF为正方形.

(1)证明:CD垂直平分线AB,

AC=CB.

∴△ABC是等腰三角形,

CDAB,

∴∠ACD=BCD.

DEAC,DFBC,

∴∠DEC=DFC=90°

∴∠EDC=FDC,

DEC与DFC中,

∴△DEC≌△DFC(ASA),

CE=CF.

(2)解:当CD=AB时,四边形CEDF为正方形.理由如下:

CDAB,

∴∠CDB=CDA=90°

CD=AB,

CD=BD=AD,

∴∠B=DCB=ACD=45°

∴∠ACB=90°

四边形ECFD是矩形,

CE=CF,

四边形ECFD是正方形.

考点: 1.线段垂直平分线的性质;2.正方形的判定.

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