题目内容
【题目】如图,点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求证:CE=CF;
(2)点C运动到什么位置时,四边形CEDF成为正方形?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)CD=AB时,四边形CEDF为正方形,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)由CD垂直平分线AB,可得AC=CB,∴∠ACD=∠BCD,再加∠EDC=∠FDC=90°,可证得△ACD≌△BCD(ASA),∴CE=CF;
(2)因为有三个角是直角,且邻边相等的四边形是正方形.所以当CD=AB时,四边形CEDF为正方形.
(1)证明:∵CD垂直平分线AB,
∴AC=CB.
∴△ABC是等腰三角形,
∵CD⊥AB,
∴∠ACD=∠BCD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC,
在△DEC与△DFC中,
,
∴△DEC≌△DFC(ASA),
∴CE=CF.
(2)解:当CD=AB时,四边形CEDF为正方形.理由如下:
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=∠CDA=90°,
∵CD=AB,
∴CD=BD=AD,
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°,
∴∠ACB=90°,
∴四边形ECFD是矩形,
∵CE=CF,
∴四边形ECFD是正方形.
考点: 1.线段垂直平分线的性质;2.正方形的判定.

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