Question

【题目】在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．

请你利用上述方法解决下列问题：

（1）请写出图1和图2所表示的代数恒等式

_______ _______

（2）现有a×a，b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图形中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为为2a2+5ab+2b2，并标出此矩形的长和宽．

（拓展应用）

提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法?

几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：

（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．

（2）原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或(40+7+3)×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021，

用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．

归纳提炼：

两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是(用文字表述)_________．

证明上述速算方法的正确性；

Answer 1

【答案】（1）（a+b）(2a+b)=2a2+3ab+b2；（2a+b）(a+2b)=2a2+5ab+2b2；（2）图形见解析，矩形的长为：a+2b；宽为：2a+b；归纳提炼：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；验证见解析

【解析】

（1）利用面积法即可找到代数恒等式；

（2）根据矩形面积为2a2+5ab+2b2，作出相应的矩形即可求出长和宽；

归纳提炼：根据题意即可写出两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算文字表述；设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和（10-b），根据题意与整式的运算法则即可验证．

（1）图1表示的代数恒等式：（a+b）(2a+b)=2a2+3ab+b2；

图2表示的代数恒等式：（2a+b）(a+2b)=2a2+5ab+2b2；

故答案为：（a+b）(2a+b)=2a2+3ab+b2；（2a+b）(a+2b)=2a2+5ab+2b2；

（2）如图，2a2+5ab+2b2=(a+2b) (2a+b)

故矩形的长为：a+2b；宽为：2a+b；

归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算文字表述为：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；

验证：设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和（10-b）

则这两个数为分别为：10a+b、10a+10-b，

∴这两个数的乘积为：（10a+b）（10a+10-b）=100a2+100a-10ab+10ab+10b-b2=100a2+100a+10b-b2=100×（a+1）×a+b（10-b）；

即十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，

故验证正确．