Question

（11·贵港）（本题满分11分）
如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO．

（1）求证：△AOB∽△BDC；
（2）设大圆的半径为x，CD的长为y：
①求y与x之间的函数关系式；
②当BE与小圆相切时，求x的值．

Answer 1

（1）证明：如图，∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C，

∴∠OAB＝∠OCD＝90°
∵BC⊥AB   ∴∠CBA＝∠CBD＝90°………………1分
∵∠1＋∠OBC＝90°   ∠2＋∠OCB＝90°
又∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∴∠1＝∠2………………2分
∴△AOB∽△BDC………………3分
（2）解：①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形………………4分
∴BF＝OA＝1
由垂径定理，得BC＝2BF＝2………………5分
在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝x
∴AB＝＝………………6分
由（1）得△AOB∽△BDC
∴＝  即＝
∴y＝（或y＝）………………7分
②当BE与小圆相切时，OE⊥BE
∵OE＝1，OC＝x
∴EC＝x－1 BE＝AB＝………………8分
在Rt△BCE中，EC²＋BE²＝BC²
即(x－1)²＋()²＝2²………………9分
解得：x₁＝2    x₂＝－1（舍去）………………10分
∴当BE与小圆相切时，x＝2………………11分

略